我們都學習過導數，對于普通數學愛好者而言，可以說導數就是區分初等數學和高等數學的分界嶺。今天我們就來聊聊到底什么是導數，基本初等函數都是如何求導的？

函數y=f(x)在點x=x0的導數就是指函數圖像在點x0處的切線的斜率k，記作k=y′(x0)=f′(x0)。

那我們怎么來求出這個切線的斜率呢？我們首先在函數圖像上取兩點

P0(x0,y0)和P(x0+△x,y0+△y)

這里y0=f(x0)，y0+△y=f(x0+△x)

△y=f(x0+△x)-y0=f(x0+△x)-f(x0)

連接直線P0P，這里P0P就是函數圖像的一條割線。當△x→0的時，x0+△x→x0，點P也就逐漸趨近于點P0，割線P0P趨近于過點P0的切線，割線P0P的斜率也就趨近于這條切線的斜率。這個過程的極限值就是函數在點x0的導數。

割線P0P的斜率等于

[(y0+△y)-y0]/[(x0+△y)-x0]

=△y/△x

過點P0的切線的斜率

k=y′(x0)=f′(x0)

=lim(△y/△x)，△x→0

=lim{[f(x0+△x)-f(x0)]/△x}

函數y=f(x)在定義域內每一個點的導數所構成的函數稱為函數的導函數，記為y′=f′(x)。

y′=y′(x)=f′(x)=lim(△y/△x)

=lim{[f(x+△x)-f(x)]/△x}，△x→0

我們把自變量x的增量△x用dx表示，稱為自變量的微分；把因變量y的增量△y用dy表示，稱為因變量的微分。那么導函數又可以表示為：

y′=y′(x)=f′(x)=dy/dx，dy=f′(x)dx

我們首先來求冪函數的導數

對于n∈N*，△x→0

(x^n)′=lim{[(x+△x)^n-x^n]/△x}

根據二項式定理：

(a+b)^n=Σ[C(n,r)×a^(n-r)×b^r]r=0，1，2，…，n

(x+△x)^n-x^n

=[x^n+nx^(n-1)△x+C(n,2)x^(n-2)(△x)^2+…+(△x)^n]-x^n

=nx^(n-1)△x+C(n,2)x^(n-2)(△x)^2+…+(△x)^n

(x^n)′=lim{[(x+△x)^n-x^n]/△x}

=lim{[nx^(n-1)△x+C(n,2)x^(n-2)(△x)^2+…+(△x)^n]/△x}

=lim[nx^(n-1)+C(n,2)x^(n-2)(△x)+…+(△x)^(n-1)]，△x→0

=nx^(n-1)+0+…+0=nx^(n-1)

(x^n)′=nx^(n-1)，n∈N*

也可以寫成：y=x^n

y′=dy/dx=d(x^n)/dx=nx^(n-1)

dy=d(x^n)=[nx^(n-1)]dx

利用后面將要證明的

(e^x)′=e^x，[ln(x)]′=1/x

我們還可以將以上結論中的正整數n拓展到任意實數α。

根據對數恒等式

x=e^(lnx)

x^α=[e^(lnx)]^α=e^(αlnx)

(x^α)′=[e^(αlnx)]′=e^(αlnx)×(αlnx)′

=x^α×α×(lnx)′

=αx^α×(1/x)=αx^(α-1)

(x^α)′=αx^(α-1)，α∈R

根據拓展到實數域的結論，我們可以很快得出幾個常見導數。

(x)′=(x^1)′=1×x^(1-1)=x^0=1

(x^2)′=2×x^(2-1)=2×x^1=2x

(1/x)′=[x^(-1)]′=(-1)×x^(-1-1)

=-x^(-2)=-1/(x^2)

(√x)′=[x^(1/2)]′=(1/2)×x^(1/2-1)

=[x^(-1/2)]/2=1/(2√x)

(C)′=(Cx^0)′=C(x^0)′

=C[0×x^(0-1)]=C×0=0

C為任意常數

(x)′=1，(x^2)′=2x，(1/x)′=-1/(x^2)

(√x)′=1/(2√x)，(C)′=0

接下來我們來討論指對數函數的導數，我在前面的文章中已經詳細討論了利用自然常數e的定義，可以證明(e^x)′=e^x。

由于證明過程比較復雜，有興趣的朋友可以前往我的主頁翻看一下。

文章鏈接：

https://www.toutiao.com/article/7197230973258678822/

(e^x)′=e^x

利用這個結論，我們就可以求出以e為底的自然對數函數y=lnx的導數

y(x)=ln(x)，x=e^y(x)

利用復合函數求導法則

(x)′=[e^y(x)]′=[e^y(x)]×y′(x)

1=x×y′(x)

y′(x)=[ln(x)]′=1/x

進一步對于任何底數a＞0且a≠1的指數函數y=a^x求導

y(x)=a^x

ln[y(x)]=ln(a^x)=xlna

{ln[y(x)]}′=(xlna)′

[1/y(x)]×y′(x)=lna×(x)′=lna×1=lna

y′(x)=y(x)lna=(a^x)lna

(a^x)′=(a^x)lna

同樣對于一般對數函數求導

y=log(a,x)，a＞0且a≠1

根據換底公式

[log(a,x)]′=(lnx/lna)′=(lnx)′/lna

=(1/x)/lna=1/(xlna)

[log(a,x)]′=1/(xlna)

指對數函數的導數就討論到這里，接下來我們來討論三角函數的導數。

首先來求正弦函數y=sinx的導數

根據兩角和差公式

(sinx)′，△x→0

=lim[sin(x+△x)-sinx]/△x

=lim[sinxcos(△x)+cosxsin(△x)-sinx]/△x，△x→0

=lim[sinx+cosxsin(△x)-sinx]/△x

=lim[cosxsin(△x)/△x]

=cosxlim[sin(△x)/△x]，△x→0

根據重要極限

lim(sinx/x)=1，x→0

lim[sin(△x)/△x]=1，△x→0

(sinx)′=cosxlim[sin(△x)/△x]

=cosx×1=cosx，△x→0

(sinx)′=cosx

類似地，我們還可以求得

(cosx)′=-sinx

(tanx)′=(secx)^2

(cotx)′=-(cscx)^2

最后我們來對反三角函數求導，我們以反正弦函數為例：

y=arcsinx，x=siny

dx/dy=d(siny)/dy=(siny)′=cosy

注意到arcsinx∈[-1,1]?(-π/2,π/2)

cosy=cos(arcsinx)＞0

dx/dy=cosy=√(cosy)^2

=√[1-(siny)^2]=√(1-x^2)

y′(x)=dy/dx=1/(dx/dy)

=1/√(1-x^2)

(arcsinx)′=1/√(1-x^2)

類似地，我們還可以求得

(arccosx)′=-1/√(1-x^2)

(arctanx)′=1/(1+x^2)

(arccotx)′=-1/(1+x^2)

好了，關于基本初等函數的導數就介紹到這里。在整個推導過程中，運用到了多種不同的求導方法，值得大家認真體會。

總結一下，本文運用到的方法和知識點有：

導數定義、微分定義、二項式定理、復合函數求導法則、對數恒等式、反函數定義、自然常數e的定義、換底公式、兩角和差公式、正弦重要極限、反三角函數定義等。